Algarismos Romanos

Algarismos Romanos A numeração romana é um sistema de numeração que usa letras maiúsculas, as quais são atribuídos valores. Os algarismos romanos são usados principalmente: Nos números de capítulos uma obra. Nas cenas de um teatro. Nos nomes de papas e imperadores. Na designação de congressos, olimpíadas, assembleias... Regras A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que correspondem aos seguintes valores: Letras Valores I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Exemplos: XVI = 16; LXVI = 66. Se à direita de uma cifra romana se escreve outra igual ou menor, o valor desta se soma ao valor da anterior. Exemplos: VI = 6 XXI = 21 LXVII = 67 A letra "I" colocada diante da "V" ou de "X", subtrai uma unidade; a letra "X", precedendo a letra "L" ou a "C", lhes subtrai dez unidades e a letra "C", diante da "D" ou da "M", lhes subtrai cem unidades. Exemplos: IV = 4 IX = 9 XL = 40 XC = 90 CD = 400 CM = 900 Em nenhum número se pode pôr uma mesma letra mais de três vezes seguidas. Antigamente se via as vezes a letra "I" ou a "X" até quatro vezes seguidas. Exemplos: XIII = 13 XIV = 14 XXXIII = 33 XXXIV = 34 A letra "V", "L" e a "D" não podem se duplicar porque outras letras ("X", "C", "M") representam seu valor duplicado. Exemplos: X = 10 C = 100 M = 1.000 Se entre duas cifras quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra seguinte a ela. Exemplos: XIX = 19 LIV = 54 CXXIX = 129 O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras horizontais em cima dos mesmos. Fonte: Só Matemática

Poema

Paixão matemática Quisera ter você... Para adicionar à minha vida Subtrair nossos sofrimentos Multiplicar nossas emoções E dividir nossos momentos Junto a ti serei conjunto Razão e proporção Progressão aritmética A mais complexa equação Tu és a raiz exata Eu, o quadrado perfeito! Vivo em função de ti Meu perímetro de vida Meu mais puro e nobre conceito Tu és meu número real A grandeza proporcionalmente direta E nas minhas noções de probabilidades Você é a resultante mais certa. Paulo Roberto Paixão Silva Fonte: Só Matemática

Matemática e Musica

Matemática e Música: em busca da harmonia * Monografia apresentada por Larissa Suarez Peres na Universidade do Grande ABC 1. Introdução: escalas musicais e relações matemáticas Do ponto-de-vista acústico, os sons utilizados para produção de música (excetuando os sons de alguns instrumentos de percussão) possuem determinadas características físicas, tais como oscilações bem definidas (freqüências) e presença de harmônicos. Entende-se, no caso, por oscilações bem definidas o fato de que um som musical, na grande maioria das vezes, ocorre de forma sustentada (pouco ou muito), de maneira que sua característica de oscilação se mantém por alguns ou muitos ciclos, diferentemente dos ruídos e outros sons não musicais. No que diz respeito à presença de harmônicos cabe lembrar que a maioria dos sons musicais não ocorre apenas em seu modo mais simples de vibração (modo fundamental), pois são compostos sempre deste modo (fundamental) e de mais outros, chamados de modos harmônicos, que nada mais são do que o corpo vibrante oscilando também com freqüências múltiplas inteiras (x2, x3, x4, etc) da freqüência do modo fundamental. Os harmônicos presentes em um som são componentes extremamente importantes no processo musical, tanto na formação das escalas musicais, como na harmonia musical. Por causa dessas características naturais, sons com alturas (freqüências) diferentes, quando postos a ocorrer ao mesmo tempo, podem criar sensações auditivas esteticamente diferentes. Em uma primeira análise, podemos entender que dois sons que mantêm uma relação inteira entre os valores de suas freqüências fundamentais certamente resultarão em uma sensação auditiva natural ou agradável, pelo fato de seus harmônicos estarem em "simpatia" ou "consonância". No caso específico em que a freqüência fundamental de um som (f1) é o dobro da freqüência fundamental de outro (f2), diz-se que o primeiro está uma oitava acima do segundo (f1=2. f2). Se quisermos gerar dois sons musicais diferentes, que sejam perfeitamente consonantes, estes deverão manter uma relação de oitava, onde todos os harmônicos do som mais alto estarão em perfeita consonância com o som mais baixo. No entanto, sons gerados simultaneamente em alguns outros intervalos diferentes da oitava podem produzir sensação agradável aos nossos ouvidos, por conterem também uma boa parte de harmônicos coincidentes, que na realidade é o intervalo chamado de quinta, e que mantém uma relação de 3:2. É claro que se fossem utilizados somente os intervalos de oitava e de quinta para criar sons em música, o resultado seria bastante pobre pela escassez de notas. Assim, várias civilizações procuraram desenvolver, científica e experimentalmente, gamas de freqüências dentro do intervalo de oitava, com as quais pudessem construir suas músicas. A essas gamas dá-se o nome de escalas musicais, e há uma variedade delas, baseadas em critérios diferentes para a definição das notas. Intervalo Relação terça menor terça quarta quinta sexta menor sexta oitava 6:5 (1,200) 5:4 (1,250) 4:3 (1,333) 3:2 (1,500) 8:5 (1,600) 5:3 (1,667) 2:1 (2,000) Intervalos consonantes Além da oitava e da quinta, outros intervalos de sons também são considerados esteticamente consonantes pela maioria dos autores, e estão apresentados na tabela acima. Cabe ressaltar que os intervalos em questão foram representados por suas relações matemáticas no que diz respeito à relação harmônica. Tomemos como exemplo o caso do intervalo de quinta: sua freqüência é igual à freqüência do terceiro harmônico da nota de referência (três vezes a freqüência da fundamental), e é dividida por dois, de forma a abaixar uma oitava, para cair dentro da mesma oitava da nota de referência, daí a relação 3:2. Os harmônicos de uma nota musical são precisamente esses sons parciais que compõem sua sonoridade, e a Série Harmônica desta mesma nota caracteriza-se pela seqüência de tais sons ordenada do grave ao agudo. A sonoridade de um instrumento ou de uma voz humana apresenta-se tanto mais brilhante quanto maior sua riqueza em harmônicos superiores, aquilo que nos faz atribuir adjetivos ao som produzindo por determinados instrumentos associa-se diretamente à distribuição dos harmônicos daquele som. Com relação à produção e uso de harmônicos, os executantes de instrumentos de sopro podem obter o harmônico seguinte à fundamental bem como o posterior a este soprando seus instrumentos com maior intensidade, assim como os instrumentistas de corda produzem harmônicos tocando uma corda levemente em pontos adequados, o que a faz vibrar em determinadas seções associadas ao harmônio que se deseja evidenciar. Fonte: Só Matemática

René Descartes

René Descartes nasceu na França, de família nobre, recebeu suas primeiras instruções no colégio jesuíta de La Flèche, graduando-se em Direito, em Poitier. Foi participante ativo de várias campanhas militares como a de Maurice, o Príncipe de Nassau, a do Duque Maximiliano I da Baviera e a do exército francês no cerco de La Rochelle. Foi amigo dos maiores sábios da época como Faulhaber, Desargues e Mersenne e é considerado o "Pai da Filosofia Moderna". Em 1637 escreveu seu mais célebre tratado, o "Discurso do Método", onde expõe sua teoria de que o universo era todo feito de matéria em movimento e qualquer fenômeno poderia ser explicado através das forças exercidas pela matéria contígua. Esta teoria só foi superada pelo raciocínio matemático de Newton. Suas idéias filosóficas e científicas eram muito avançadas para a época mas sua matemática guardava características da antigüidade tendo criado a Geometria Analítica numa tentativa de volta ao passado. Durante o período em que Descartes permaneceu com o exército bávaro, em 1619, descobriu a fórmula sobre poliedros que usualmente leva o nome de Euler: v + f = a + 2 onde v, f e a são respectivamente o número de vértices, faces e arestas de um poliedro simples. Em 1628 já estava de posse da Geometria Cartesiana que hoje se confunde com a Analítica, embora es objetivos do autor fossem diferentes tanto que em seu "Discurso" se mostra imparcial quando discute os méritos da Geometria e da Álgebra. Seu objetivo era por processos algébricos libertar a Geometria da utilização de tantos diagramas que fatigavam a imaginação, e dar significado às operações da Álgebra, tão obscura e confusa para a mente, através de interpretações geométricas. Descartes estava convencido de que todas as ciências matemáticas partem do mesmo princípio básico e aplicando seus conceitos conseguiu resolver o problema das três e quatro retas de Pappus. Percebendo a eficiência de seus métodos publicou ''A Geometria", que consta de três livros, onde dá instruções detalhadas para resolver equações quadráticas geometricamente, por meio de parábolas; trata das ovais de Descartes importantes em óptica e ensina como descobrir raízes racionais e achar solução algébrica de equações cúbicas e quadráticas. Em 1649, convidado pela Rainha Cristina da Suécia, estabeleceu uma Academia de Ciências em Estocolmo e como nunca gozou de boa saúde não suportou o inverno escandinavo, morrendo prematuramente em 1650. Fonte: Só Matemática

Pitágoras

"Prestem atenção: num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ou seja: a2=b2+c2. Está claro?" O professor larga o giz e se volta para a classe: "pois este é o enunciado do teorema de Pitágoras. Vamos passar agora à demonstração". Enquanto o professor se vira de novo para o quadro negro, alguns alunos se entreolham: "E quem foi esse Pitágoras?" Um grego - o nome não engana ninguém. Um matemático - óbvio, caso contrário não faria teoremas. Um gênio - claro, senão quem não se preocuparia com ele e seus teoremas 25 séculos após sua morte? Um astrônomo - bem, vá lá, astronomia e matemática sempre andaram juntas. Mas Pitágoras foi mais que isso: conhecia também música, moral, filosofia, geografia e medicina. Pitágoras viveu há 2500 anos e não deixou obras escritas. O que se sabe de sua biografia e de suas idéias é uma mistura de lenda e história real. A lenda começa antes mesmo de Pitágoras nascer: por volta de 580 a.C., a sacerdotisa do deus Apolo disse a um casal que vivia na ilha de Samos, no mar Egeu: "Tereis um filho de grande beleza e extraordinária inteligência; será um dos homens mais sábios de todos os tempos." No mesmo ano, o casal teve um filho. Era Pitágoras. Lenda ou não lenda, a inteligência do jovem Pitágoras assombrava os doutos das melhores escolas de Samos: não conseguiam responder as perguntas do moço de 16 anos. Nessas condições, só havia uma coisa a fazer: despachá-lo a Mileto, para que estudasse com Tales - o maior sábio da época, provavelmente o primeiro grego a se dedicar cientificamente aos números. Adulto, Pitágoras resolveu ampliar seus interesses. E começou a somar, além dos números, idéias sobre a ciência e a religião de outros povos. Acreditando que era preciso ver para crer, arrumou as malas e disse "até logo" a seus patrícios: foi à Síria, depois à Arábia, à Caldéia, à Pérsia, à Índia e, como última escala, ao Egito, onde passou mais de 20 anos e se fez até sacerdote para melhor conhecer os mistérios da religião egípcia. Dizem que quando Cambises conquistou o Egito, Pitágoras foi levado em cativeiro para a Babilônia. Curioso como era, o grego aproveitou a chance para descobrir em que pé andavam as ciências naquele país. Muito tempo tinha passado e Pitágoras já dobrava a curva dos 50. Seu desejo era voltar a Samos e abrir uma escola. Mas Samos tinha mudado e o ditador Polícrates, que governava a ilha, não queria saber nem de escolas nem de templos. Aí Pitágoras seguiu adiante, a Crotona, no sul da Itália, onde as melhores famílias da cidade lhe confiaram prazerosamente a educação de seus filhos. E Pitágoras pôde, por fim, fundar sua escola, onde passou a ensinar aritmética, geometria, música e astronomia. E, permeando essas disciplinas, aulas de religião e moral. Mais que uma escola, Pitágoras conseguira criar uma comunidade religiosa, filosófica e política. Os alunos que formava saíam para ocupar altos cargos do governo local; cientes de sua sabedoria torciam o nariz antes as massas ignorantes e apoiavam o partido aristocrático. Resultado: as massas retrucaram pela violência e - segundo dizem uns - incendiaram a escola, prenderam o professor e o mataram. Outros são mais otimistas: contam que Pitágoras foi só exilado para Metaponto, mais ao norte, na Lucânia, onde morreu, esquecido mas em paz, com mais de 80 anos de idade. Image Assim se demonstra o teorema de Pitágoras: somando os quadradinhos dos quadrados menores, que correspondem aos catetos, vê-se que seu número é igual aos do quadrado maior, cujo lado constitui a hipotenusa de um triângulo. "Tudo são números" Pitágoras imaginava os números como pontos, que determinam formas. E o Universo, o que é, senão um conjunto de átomos, cuja disposição dá forma à matéria? De qualquer modo, Pitágoras não se contentava em dizer frases; demonstrou que era necessário provar e verificar geometricamente um enunciado matemático, ou seja, expressá-lo como teorema. E formulou vários, além daquele mais conhecido. Por exemplo: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a soma de dois ângulos retos (a+b+c=180º); a superfície de um quadrado é igual a multiplicação de um lado por si mesmo. Donde a expressão "elevar ao quadrado": 2x2=22; o volume de um cubo é igual à sua aresta multiplicada três vezes por si mesma: 2x2x2=23, o que originou a expressão "elevar ao cubo". Pitágoras também mostrou que música e matemática são parentes: o comprimento e a tensão das cordas de uma lira, por exemplo, podem ser convertidos em expressões matemáticas. O gênio de Samos era um homem religioso, acreditava na transmigração da alma: quando um homem morre, sua alma passa para outro ou para um animal. Só pela vida "pura" a alma poderia libertar-se do corpo e viver no céu. E vida pura significava, para Pitágoras, austeridade, coragem, piedade, obediência, lealdade. Dizia a seus alunos: "Honra os deuses sobre todas as coisas. Honra teu pai e tua mãe. Acostuma-te a dominar a fome, o sono, a preguiça e a cólera". Mas acreditava igualmente numa série de superstições: não comer carne por causa da reencarnação, não comer favas, não atiçar o fogo com ferro, não erguer algo caído do chão. Melhor meio de purificar a alma, ensinava Pitágoras, era a música. O Universo - afirmava - era uma escala, ou um número musical, cuja própria existência se devia à sua harmonia. Como astrônomo, seu principal mérito foi conceber o Universo em movimento. Como teórico de medicina, achava que o corpo humano era constituído basicamente por uma harmonia: homem doente era sinal de harmonia rompida. Como filósofo, deu origem a uma corrente que se desenvolveu durante os séculos seguintes, inspirando - entre os principais pensadores gregos - inclusive o famoso Platão. Fonte: Só Matemática

René Descartes

Descartes, por vezes chamado de o fundador da filosofia moderna e o pai da matemática moderna, é considerado um dos pensadores mais influentes da história humana. Nasceu em La Haye, a cerca de 300 quilômetros de Paris. Seu pai, Joachim Descartes, advogado e juiz, possuía terras e o título de escudeiro, além de ser conselheiro no Parlamento de Rennes, na Bretanha. Com um ano de idade, Descartes perdeu a mãe, Jeanne Brochard, no seu terceiro parto, e foi criado pela avó. Seu pai se casou novamente e chamava o filho de "pequeno filósofo". Mais tarde, aborreceu-se com ele quando não quis exercer o direito, curso que concluiu na universidade de Poitiers em 1616. Em 1618, Descartes foi para a Holanda e se alistou no exército de Maurício de Nassau. A escola militar era, para ele, uma complementação da sua educação. Nessa época fez amizade com o duque filósofo, doutor e físico Isaac Beeckman, e a ele dedicou o "Compendium Musicae", um pequeno tratado sobre música. Em 1619, viajou para a Dinamarca, Polônia e Alemanha, onde, segundo a tradição, no dia 10 de novembro, teve uma visão em sonho de um novo sistema matemático e científico. Três anos depois retornou a França e passou os anos seguintes em Paris e em outras partes da Europa. Em 1628, Descartes, incentivado pelo cardeal De Bérulle, escreveu "Regras para a Direção do Espírito". Buscando tranqüilidade, partiu para os Países Baixos, onde viveu até 1649. Em 1629 começou a trabalhar em "Tratado do Mundo", uma obra de física. Mas em 1633, quando Galileu foi condenado pela igreja católica, Descartes não quis publicá-lo. Em 1635 nasceu sua filha ilegítima, Francine, que morreria em 1640. Em 1637, publicou anonimamente "Discurso sobre o Método para Bem Conduzir a Razão a Buscar a Verdade Através da Ciência". Os três apêndices desta obra foram "A Dióptrica" (um trabalho sobre ótica), "Os Meteoros" (sobre meteorologia), e "A Geometria" (onde introduz o sistema de coordenadas que ficaria conhecido como "cartesianas", em sua homenagem). Seu nome e suas teorias se tornaram conhecidos nos círculos ilustrados e sua afirmação "Penso, logo existo" (Cogito, ergo sum) tornou-se popular. Em 1641, surgiu sua obra mais conhecida: as "Meditações Sobre a Filosofia Primeira", com os primeiros seis conjuntos de "Objeções e Respostas". Os autores das objeções foram Johan de Kater; Mersene; Thomas Hobbes; Arnauld e Gassendi. A segunda edição das Meditações incluía uma sétima objeção, feita pelo jesuíta Pierre Bourdin.. Em 1643, a filosofia cartesiana foi condenada pela Universidade de Utrecht (Holanda) e, acusado de ateísmo, Descartes obteve a proteção do Príncipe de Orange. No ano seguinte, lançou "Princípios de Filosofia", um livro em grande parte dedicado à física, o qual ofereceu à princesa Elizabete da Boêmia, com quem mantinha correspondência. Uma cópia manuscrita do "Tratado das Paixões" foi enviada para a rainha Cristina da Suécia, através do embaixador francês. Frente a insistentes convites, Descartes foi para Estocolmo em 1649, com o objetivo de instruir a rainha de 23 anos em matemática e filosofia.O horário da aula era às cinco horas da manhã. No clima rigoroso, sua saúde deteriorou. Em fevereiro de 1650, ele contraiu pneumonia e, dez dias depois, morreu. Em 1667, depois de sua morte, a Igreja Católica Romana colocou suas obras no Índice de Livros Proibidos.Fonte:http://educacao.uol.com.br/biografias/rene-descartes.jhtm

Pitágoras

Fonte: http://www.suapesquisa.com/pesquisa/logo2.jpg Pitágoras - Biografia Vida de Pitágoras, importante filósofo e matemático da antiguidade, matemática, geometria, aritmética, Teorema de Pitágoras, ciências, bibliografia, Escola PitagóricaQuem foi Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego. Nasceu no ano de 570 a .C na ilha de Samos, na região da Ásia Menor (Magna Grécia). Provavelmente, morreu em 497 ou 496 a.C em Metaponto (região sul da Itália). Embora sua biografia seja marcada por diversas lendas e fatos não comprovados pela História, temos dados e informações importantes sobre sua vida. Com 18 anos de idade, Pitágoras já conhecia e dominava muitos conhecimentos matemáticos e filosóficos da época. Através de estudos astronômicos, afirmava que o planeta Terra era esférico e suspenso no Espaço (ideia pouco conhecida na época). Encontrou uma certa ordem no universo, observando que as estrelas, assim como a Terra, girava ao redor do Sol. Recebeu muita influência científica e filosófica dos filósofos gregos Tales de Mileto, Anaximandro e Anaxímenes. Enquanto visitava o Egito, impressionado com as pirâmides, desenvolveu o famoso Teorema de Pitágoras. De acordo com este teorema é possível calcular o lado de um triângulo retângulo, conhecendo os outros dois. Desta forma, ele conseguiu provar que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Atribui-se também a ele o desenvolvimento da tábua de multiplicação, o sistema decimal e as proporções aritméticas. Sua influência nos estudos futuros da matemática foram enormes, pois foi um dos grandes construtores da base dos conhecimentos matemáticos, geométricos e filosóficos que temos atualmente. Principais filósofos da Escola Pitagórica: - Filolau de Crotona - Temistocleia - Arquitas de Tarento - Alcmeão de Crotona - Melissa Alguns pensamentos (frases) de Pitágoras: - Não é livre quem não consegue ter domínio sobre si. - Todas as coisas são números. - Aquele que fala semeia; aquele que escuta recolhe. - Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem. - Educai as crianças e não será preciso punir os homens. - A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus. - A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus. - Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.